Vektor adalah suatu besaran yang memiliki arah dan besarnya dapat diukur. Dalam matematika, vektor sering digunakan untuk menghitung jarak, kecepatan, dan percepatan. Ketika kita bekerja dengan vektor, kita seringkali perlu mengetahui sudut antara dua vektor. Sudut antara dua vektor dapat digunakan untuk menghitung banyak hal, seperti sudut antara bidang, sudut antara garis, dan sudut antara sumbu. Berikut adalah cara untuk mencari sudut antara dua vektor.
Definisi Vektor
Sebelum kita membahas cara mencari sudut antara dua vektor, kita perlu mengerti apa itu vektor. Vektor adalah besaran yang memiliki arah dan besarnya dapat diukur. Vektor dituliskan dengan menggunakan panah di atas huruf, seperti vektor A dituliskan sebagai →A. Besarnya vektor dituliskan dengan menggunakan notasi vektor, seperti |→A|.
Menentukan Arah Vektor
Sebelum kita mencari sudut antara dua vektor, kita perlu menentukan arah dari masing-masing vektor. Untuk menentukan arah vektor, kita dapat mengamati arah panah pada vektor. Jika arah panah mengarah ke atas, maka arah vektor tersebut adalah ke atas. Jika arah panah mengarah ke bawah, maka arah vektor tersebut adalah ke bawah.
Menentukan Besar Vektor
Setelah menentukan arah dari masing-masing vektor, kita perlu menentukan besar dari masing-masing vektor. Besar vektor dituliskan dengan menggunakan notasi vektor, seperti |→A|. Untuk menghitung besarnya vektor, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras, seperti berikut:
|→A| = √(Ax2 + Ay2)
Dimana Ax adalah komponen vektor A pada sumbu x dan Ay adalah komponen vektor A pada sumbu y. Jika vektor A memiliki arah ke atas dan memiliki besar 5, maka komponen vektor A pada sumbu x adalah 0 dan komponen vektor A pada sumbu y adalah 5. Oleh karena itu, besar dari vektor A adalah |→A| = √(02 + 52) = 5.
Menghitung Dot Product
Setelah mengetahui arah dan besar dari masing-masing vektor, kita perlu menghitung dot product dari dua vektor. Dot product dari dua vektor adalah hasil kali antara besar dari masing-masing vektor dengan cosinus dari sudut antara kedua vektor, seperti berikut:
→A · →B = |→A||→B|cos(θ)
Dimana →A dan →B adalah dua vektor, |→A| dan |→B| adalah besar dari masing-masing vektor, dan θ adalah sudut antara kedua vektor. Jika vektor A memiliki arah ke atas dan memiliki besar 5 dan vektor B memiliki arah ke kanan dan memiliki besar 3, maka dot product dari vektor A dan vektor B adalah:
→A · →B = |→A||→B|cos(θ) = 5 x 3 x cos(90o) = 0
Menghitung Cosinus Sudut
Setelah menghitung dot product dari dua vektor, kita perlu menghitung cosinus dari sudut antara kedua vektor. Cosinus sudut dapat dihitung menggunakan rumus berikut:
cos(θ) = →A · →B / (|→A||→B|)
Dengan dot product dari vektor A dan vektor B adalah 0 dan besar dari vektor A dan vektor B sudah diketahui, maka cosinus dari sudut antara kedua vektor adalah:
cos(θ) = →A · →B / (|→A||→B|) = 0 / (5 x 3) = 0
Menghitung Sudut
Setelah menghitung cosinus dari sudut antara kedua vektor, kita perlu menghitung sudut antara kedua vektor. Sudut antara kedua vektor dapat dihitung menggunakan rumus berikut:
θ = cos-1(cos(θ))
Dengan cosinus dari sudut antara kedua vektor adalah 0, maka sudut antara kedua vektor adalah:
θ = cos-1(cos(θ)) = cos-1(0) = 90o
Contoh Soal
Misalkan terdapat dua vektor, →A = 2i + 3j dan →B = 4i – 5j. Tentukan sudut antara kedua vektor.
Pertama, kita perlu menentukan arah dari masing-masing vektor. Vektor →A memiliki arah ke kanan atas dan vektor →B memiliki arah ke kanan bawah.
Kedua, kita perlu menentukan besar dari masing-masing vektor. Besar vektor →A dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras, seperti berikut:
|→A| = √(22 + 32) = √13
Besar vektor →B dapat dihitung menggunakan rumus Pythagoras, seperti berikut:
|→B| = √(42 + (-5)2) = √41
Ketiga, kita perlu menghitung dot product dari dua vektor, seperti berikut:
→A · →B = 2 x 4 + 3 x (-5) = -7
Keempat, kita perlu menghitung cosinus dari sudut antara kedua vektor, seperti berikut:
cos(θ) = →A · →B / (|→A||→B|) = -7 / (√13 x √41) = -0.3666
Terakhir, kita perlu menghitung sudut antara kedua vektor, seperti berikut:
θ = cos-1(cos(θ)) = cos-1(-0.3666) = 69.42o
Kesimpulan
Sudut antara dua vektor dapat digunakan untuk menghitung banyak hal, seperti sudut antara bidang, sudut antara garis, dan sudut antara sumbu. Untuk mencari sudut antara dua vektor, kita perlu menentukan arah dari masing-masing vektor, menentukan besar dari masing-masing vektor, menghitung dot product dari dua vektor, menghitung cosinus dari sudut antara kedua vektor, dan menghitung sudut antara kedua vektor menggunakan rumus cos-1(cos(θ)).
